2026年5月，国际顶级数学期刊《Inventiones Mathematicae》发表了一篇由中国团队完成的研究论文。该论文的作者包括清华大学与中国科学技术大学的双聘教授马杰，以及清华大学的博士生申武杰和中国科学技术大学的博士生谢晟捷。

这篇论文的核心突破在于对1947年由保罗·艾狄胥（Paul Erdős）提出的概率方法进行了指数级的改进，该方法是概率组合学的基石，近80年来一直未被从根本上突破。

艾狄胥的原始方法，被形象地比喻为“一枚硬币扔了80年”，其核心思想是对完全图的每条边进行随机着色，例如抛掷硬币决定染成红色或蓝色。这一方法曾被用来证明，在一个足够大的社交网络中，必然存在一群人彼此完全认识或完全不认识，并且证明了“足够大”的规模至少是指数级的。尽管在过去几十年里，该方法所设定的上界被不断推进，例如在2023年已降至约3.7992，但其下界的基数近80年来一直保持不变。直到马杰团队提出一个基于球面的新想法，才打破了这一僵局。

艾狄胥的硬币着色方法虽然简洁易于分析，但其固有的完全随机性和独立性，未能利用几何结构来限制单色团的形成，从而在信息利用上存在不足。申武杰提出的新思路是将几何概念引入随机性之中，他构建了一个“随机球图”模型。在该模型中，n个节点被随机放置在高维球面上，节点间距离较远的点对连接的边被涂成红色，距离较近的则涂成蓝色。高维球面的一个反直觉特性是，随着维度的增加，几乎所有点都聚集在赤道附近，导致任意两条随机选择的径向线的夹角几乎总是接近90度。这使得点对之间的距离集中在一个狭窄的范围内，从而使着色过程不再是完全随机，而是受到球面几何对称性的精确调控，这种结构天然地抑制了大面积单色团的出现。

然而，这种球面模型也带来了一个权衡：它降低了生成红色团的概率，因为要形成大范围的红色团，需要大量节点彼此远离，而在有限的球面空间内这种情况很难发生。但相应地，蓝色团的概率则有所上升。研究团队在小规模图上进行了验证，结果表明，在数以万计的着色方案中，能够形成无团着色的概率仍然大于零，说明其收益确实抵消了代价。

随后，团队利用高维球面独特的几何性质完成了证明。以近对角线Ramsey数 r(k, 2k) 为例，即两个参数一个为另一个两倍的情形，艾狄胥的硬币方法给出的下界基数恰好是黄金比例（(1+√5)/2 ≈ 1.618）。而马杰、申武杰和谢晟捷将这一基数提升到了 (1+√5)/2 + 10⁻²¹。尽管改进的数值本身极小（约10⁻²¹），但关键在于其指数级的增长效应。当k趋向无穷大时，即使基数仅增加了微小的数值，新的下界也会远超旧的下界。近80年来，这一基数从未被触及。他们的工作不仅在数值上有所提升，更证明了艾狄胥的硬币着色方案并非最优，随机球图在结构上优于纯随机着色，预示着概率方法还有巨大的提升空间。这是该领域自艾狄胥以来首次实现的指数级改进，也为超越硬币模型提供了新路径。不过，该方法在蓝色团大于红色团时有效，在两种颜色禁忌团大小相同时（艾狄胥最初关注的对角线情形），新方法的优势则会消失。

该研究成果在学术界引起了广泛关注。论文于2025年7月首次在arXiv上发布，不到一周，组合数学领域的知名学者Gil Kalai就在其博客上撰文称赞该模型“具有相当的独立研究价值”。剑桥大学的Julian Sahasrabudhe表示，这项技术“一直藏在眼皮底下”，能够用熟悉的方法解决熟悉的问题令人震惊。2025年12月，马杰在UCLA的合作导师Benny Sudakov及其学生进一步证明，将模型替换为高斯随机图同样有效，无需依赖球面，这极大地简化了该方法并为更广泛的推广铺平了道路。2026年初，该方法还被推广到了多色Ramsey数问题。最终，这项研究于2026年5月正式发表在《Inventiones Mathematicae》上。

马杰，现任清华大学丘成桐数学科学中心教授及中国科学技术大学教授，他在组合数学领域成就卓著，曾获得国家优青、国家杰青等荣誉，并于2020年获得国际组合数学协会（ICA）的Hall Medal。谢晟捷，高中时期已在数学竞赛中崭露头角，高二即进入中国科学技术大学少年班，本科期间获得丘赛团体铜牌，是马杰的直博生，成果发表时为博士三年级。申武杰，一位00后博士生，目前在清华大学丘成桐数学科学中心攻读博士学位，师从丘成桐，成果发表时为博士四年级。他高中曾获CMO三等奖，本科就读于北京大学数学学院，期间获得多项重要数学竞赛奖项。在博士早期，申武杰的研究方向并非Ramsey理论，直到2024年春天偶然阅读相关论文后，他开始思考能否找到比艾狄胥硬币更高效的随机模型。2024年秋天，他将这一想法与马杰及谢晟捷分享，三人历时一年，完成了包含大量密集计算的证明。马杰表示，团队非常幸运，但过程充满挑战。

在人工智能方面，文章也进行了对比。与DeepMind的AlphaProof Nexus在同月发布的战报中，AI在353个艾狄胥开放问题中解决了9个，并证明了44个OEIS猜想，但其本质是在已知框架内进行搜索。而马杰团队的工作，是升级了艾狄胥发明的核心方法本身，而非解决某个具体问题。文章指出，AI在已知方法中进行匹配搜索方面表现出色，但在提出原创性想法上仍不及人类。AI从艾狄胥的遗产中“拆走了”9堵墙，而马杰团队则“重铸”了他最引以为傲的工具。在需要创造性洞察的数学前沿领域，人类的独特作用依然不可替代。

文章最后回顾了艾狄胥在1947年开创概率组合学，以及近80年后，一位中国00后博士生提出的“把节点扔到球面上试试”这一关键性想法。